Analiza stabilności numerycznej całkowania równań krzepnięcia metodami mieszanego podziału czasu

Na stronie tej zawarte są informacje o projekcie promotorskim pt. "Analiza stabilności numerycznej całkowania równañ krzepnięcia metodami mieszanego podziału czasu" wykonywanym w Instytucie Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechniki Częstochowskiej w latach 2004-2005.

Informacje ogólne
Cel projektu
Harmonogram wykonania projektu

INFORAMCJE OGÓLNE mgr Elżbieta Gawrońska
Typ projektu promotorski
Numer projektu 3 T11F 023 27
Finansowany przez Komitet Badań Naukowych
Termin realizacji od 01-10-2004 do 19-10-2005
Wykonawcy
CEL PROJEKTU

Krzepniêcie przewa¿aj±cej czê¶ci stopów odlewniczych przebiega w pewnych przedzia³ach temperatury. W tym przypadku, w obszarze krzepn±cego odlewu poza strefami fazy ciek³ej i sta³ej (zakrzep³ej) wyró¿nia siê jeszcze dodatkow± strefê, w której obie fazy wystêpuj± jednocze¶nie. Jest to tzw. strefa dwufazowa, zwana po angielsku mushy-zone. W miarê up³ywu czasu, liczonego od momentu zalania formy odlewniczej, strefa dwufazowa przemieszcza siê w kierunku wnêtrza odlewu, by ostatecznie zanikn±æ. Krzepniêcie odlewu jest zatem procesem niejednorodnym. Oznacza to, ¿e w ka¿dym jego punkcie przebiega ono inaczej.

Symulacje komputerowe krzepniêcia, mimo stosowania zaawansowanych i wydajnych modeli numerycznych, trwaj± bardzo d³ugo, poniewa¿ dla uzyskania zadowalaj±cej dok³adno¶ci konieczne jest stosowanie bardzo gêstych siatek elementów skoñczonych oraz ma³ych kroków czasowych. Rozwi±zaniem pozwalaj±cym na skrócenie czasu obliczeñ, przy zachowaniu wymaganej dok³adno¶ci, jest zastosowanie procedur adaptacyjnego dostosowania siatki elementów skoñczonych do warunków zadania oraz do aktualnego stanu przebiegu procesu krzepniêcia. Innym rozwi±zaniem prowadz±cym do skrócenia czasu obliczeñ jest zastosowanie przetwarzania równoleg³ego lub rozproszonego. To podej¶cie wymaga jednak posiadania odpowiedniego sprzêtu komputerowego oraz napisania programu równoleg³ego. Jest to rozwi±zanie bardzo obiecuj±ce, ale w chwili obecnej dopiero intensywnie rozwijane. Oba te rozwi±zania s± jednak rozwi±zaniami po³owicznymi, poniewa¿ nie uwzglêdniaj± one odmienno¶ci procesów termodynamicznych zachodz±cych w krzepn±cym i stygn±cym odlewie oraz w nagrzewaj±cej siê i stygn±cej formie odlewniczej, szczególnie metalowej. Ze wzglêdu na szybko przebiegaj±ce w krzepn±cym odlewie zmiany termodynamiczne konieczne jest stosowanie dla podobszaru odlewu ma³ego kroku czasowego. Poniewa¿ w metalowej formie odlewniczej nie zachodz± najczê¶ciej ¿adne istotne zmiany termodynamiczne, dlatego w podobszarze tym celowe staje siê stosowanie jak najwiêkszego, dopuszczalnego ze wzglêdów numerycznych, kroku czasowego.

Rozwi±zywania skomplikowanych problemów metodami elementów skoñczonych s± obliczeniowo kosztowne. To motywowa³o i wci±¿ motywuje naukowców do ci±g³ych poszukiwañ rozwi±zañ coraz to bardziej efektywnych. Kolejnym krokiem, po dokonaniu podzia³u siatki ze wzglêdu na stosowany schemat ca³kowania, którego celem by³o znalezienie wydajnych procedur obliczeniowych sta³o siê zastosowanie ró¿nego kroku czasowego w ró¿nych czê¶ciach obszaru. Schematy ca³kowania niejawne s± byæ numerycznie stabilne i dopuszczaj± du¿y krok czasowy, ale koszt obliczeñ przypadaj±cy na jeden krok czasowy jest bardzo kosztowny. Z drugiej strony, jawne algorytmy nie s± kosztowne obliczeniowo i wymagaj± mniej pamiêci ni¿ algorytmy niejawne, ale ich numeryczna stabilno¶æ wymaga, ¿eby zosta³y u¿yte ma³e kroki. S± zagadnienia, dla których algorytmy niejawne s± bardzo efektywne i inne, dla których algorytmy jawne s± bardzo efektywne. Niemniej jednak wiele ró¿nych typów elementów skoñczonych i rozdrobnienia lokalnej siatki czêsto skutkuj± tym, ¿e ¿adna z tych klas nie jest wydajna sama z siebie. Naukowcy wyszli naprzeciw tym trudno¶ciom i rozwinêli metody, w których usi³uje siê jednocze¶nie osi±gn±æ atrybuty obu klas algorytmów. Belytschko, Mullen, Smolinski i inni przedstawili sformu³owanie, w którym elementy skoñczone modelowanego obszaru s± podzielone na podobszary, ca³kowane z ró¿nymi krokami czasowymi i/lub ró¿nymi schematami. Procedury te nazywa siê z ang. mixed time partinioned procedures lub subcycling procedures i ³±cz± w sobie atrybuty obu schematów ca³kowania po czasie, jawnego i niejawnego. Wa¿nym czynnikiem stosowania procedur podcykli jest wyznaczenie i przestrzeganie warunków stabilno¶ci metody. Okre¶lenie maksymalnego, dopuszczalnego kroku czasowego, a tym samym warunkiem wystarczaj±cym stabilno¶ci numerycznej rozwi±zania jest ograniczenie warto¶ci w³asnych macierzy wystêpuj±cych w rozwa¿anych równaniach. Rozpatruje siê tylko homogeniczne postacie tych równañ, poniewa¿ stabilno¶æ metody ca³kowania nie zale¿y od wyra¿enia niejednorodnego, nastêpnie szuka siê dla danego obszaru siatki maksymalnej warto¶ci w³asnej macierzy i na jej podstawie okre¶la krytyczny krok czasowy, jaki mo¿na zastosowaæ do obliczeñ.

Projekt promotorski dotyczy numerycznego modelowania zjawisk cieplnych oraz narastania fazy sta³ej i powstawania struktury w odlewie przy wykorzystaniu metody elementów skoñczonych w nowej wersji, w której stosowane bêd± ró¿nej wielko¶ci kroki czasowe dla poszczególnych podobszarów zadania. Jest to podej¶cie nowe i dlatego bêdzie ono wymaga³o przeprowadzenia wielu rozwa¿añ zwi±zanych z analiz± stabilno¶ci rozwi±zania, opracowania nowych algorytmów, znalezienia mo¿liwych (fizykalnie uzasadnionych) kombinacji ró¿nych schematów ca³kowania po czasie i odpowiadaj±cych im wielko¶ci kroków czasowych oraz przeprowadzenia wielu symulacji testuj±cych. Jednym z efektów projektu promotorskiego bêdzie wykonanie autorskiego modu³u obliczeniowego, daj±cego mo¿liwo¶ci dodatkowego skrócenia czasu obliczeñ komputerowych w trakcie przeprowadzania symulacji numerycznych krzepniêcia.

Przewiñ do góry strony
HARMONOGRAM WYKONANIA PROJEKTU
31-01-2005

Przeprowadzenie analizy stabilno¶ci numerycznej ca³kowania równañ krzepniêcia metod± mieszanego podzia³u czasu dla zadañ 1D z podzia³em siatki elementów skoñczonych, wyprowadzenie warunków stabilno¶ci numerycznej obliczeñ z wykorzystaniem warto¶ci w³asnych macierzy, okre¶lenie najwiêkszego dopuszczalnego kroku czasowego oraz jego najwiêkszej dopuszczalnej wielokrotno¶ci, implementacja zagadnienia 1D do modelowania krzepniêcia, przeprowadzenie wstêpnych symulacji komputerowych

31-07-2005

Przeprowadzenie analizy stabilno¶ci numerycznej ca³kowania równañ krzepniêcia metod± mieszanego podzia³u czasu dla zadañ 2D z podzia³em siatki elementów skoñczonych, wyprowadzenie warunków stabilno¶ci numerycznej obliczeñ z wykorzystaniem warto¶ci w³asnych macierzy, okre¶lenie najwiêkszego dopuszczalnego kroku czasowego oraz jego najwiêkszej dopuszczalnej wielokrotno¶ci, implementacja zagadnienia 2D do modelowania krzepniêcia, przeprowadzenie symulacji komputerowych

30-09-2005

Przeprowadzenie analizy efektywno¶ci zastosowania ca³kowania metod± mieszanego podzia³u czasu w modelowaniu numerycznym krzepniêcia, porównanie czasu obliczeñ z zastosowaniem nowej metody do czasu obliczeñ z zastosowaniem tradycyjnych metod wykorzystuj±cych sta³y krok czasowy, testowe symulacje komputerowe

Przewiñ do góry strony

Valid HTML 4.01 Transitional

Copyright © 2007 by El¿bieta Gawroñska | Kontakt