Analiza stabilności numerycznej całkowania równań krzepnięcia metodami mieszanego podziału czasu

Na stronie tej zawarte są informacje o projekcie promotorskim pt. "Analiza stabilności numerycznej całkowania równań krzepnięcia metodami mieszanego podziału czasu" wykonywanym w Instytucie Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechniki Częstochowskiej w latach 2004-2005.

Informacje ogólne
Cel projektu
Harmonogram wykonania projektu

INFORAMCJE OGÓLNE
Typ projektu promotorski
Numer projektu 3 T11F 023 27
Finansowany przez Komitet Badań Naukowych
Termin realizacji od 01-10-2004 do 19-10-2005
Wykonawcy dr hab. inż. Norbert Sczygiol, prof. P.Cz.
mgr Elżbieta Gawrońska
CEL PROJEKTU

Krzepnięcie przeważającej części stopów odlewniczych przebiega w pewnych przedziałach temperatury. W tym przypadku, w obszarze krzepnącego odlewu poza strefami fazy ciekłej i stałej (zakrzepłej) wyróżnia się jeszcze dodatkową strefę, w której obie fazy występują jednocześnie. Jest to tzw. strefa dwufazowa, zwana po angielsku mushy-zone. W miarę upływu czasu, liczonego od momentu zalania formy odlewniczej, strefa dwufazowa przemieszcza się w kierunku wnętrza odlewu, by ostatecznie zaniknąć. Krzepnięcie odlewu jest zatem procesem niejednorodnym. Oznacza to, że w każdym jego punkcie przebiega ono inaczej.

Symulacje komputerowe krzepnięcia, mimo stosowania zaawansowanych i wydajnych modeli numerycznych, trwają bardzo długo, ponieważ dla uzyskania zadowalającej dokładności konieczne jest stosowanie bardzo gęstych siatek elementów skończonych oraz małych kroków czasowych. Rozwiązaniem pozwalającym na skrócenie czasu obliczeń, przy zachowaniu wymaganej dokładności, jest zastosowanie procedur adaptacyjnego dostosowania siatki elementów skończonych do warunków zadania oraz do aktualnego stanu przebiegu procesu krzepnięcia. Innym rozwiązaniem prowadzącym do skrócenia czasu obliczeń jest zastosowanie przetwarzania równoległego lub rozproszonego. To podejście wymaga jednak posiadania odpowiedniego sprzętu komputerowego oraz napisania programu równoległego. Jest to rozwiązanie bardzo obiecujące, ale w chwili obecnej dopiero intensywnie rozwijane. Oba te rozwiązania są jednak rozwiązaniami połowicznymi, ponieważ nie uwzględniają one odmienności procesów termodynamicznych zachodzących w krzepnącym i stygnącym odlewie oraz w nagrzewającej się i stygnącej formie odlewniczej, szczególnie metalowej. Ze względu na szybko przebiegające w krzepnącym odlewie zmiany termodynamiczne konieczne jest stosowanie dla podobszaru odlewu małego kroku czasowego. Ponieważ w metalowej formie odlewniczej nie zachodzą najczęściej żadne istotne zmiany termodynamiczne, dlatego w podobszarze tym celowe staje się stosowanie jak największego, dopuszczalnego ze względów numerycznych, kroku czasowego.

Rozwiązywania skomplikowanych problemów metodami elementów skończonych są obliczeniowo kosztowne. To motywowało i wciąż motywuje naukowców do ciągłych poszukiwań rozwiązań coraz to bardziej efektywnych. Kolejnym krokiem, po dokonaniu podziału siatki ze względu na stosowany schemat całkowania, którego celem było znalezienie wydajnych procedur obliczeniowych stało się zastosowanie różnego kroku czasowego w różnych częściach obszaru. Schematy całkowania niejawne są być numerycznie stabilne i dopuszczają duży krok czasowy, ale koszt obliczeń przypadający na jeden krok czasowy jest bardzo kosztowny. Z drugiej strony, jawne algorytmy nie są kosztowne obliczeniowo i wymagają mniej pamięci niż algorytmy niejawne, ale ich numeryczna stabilność wymaga, żeby zostały użyte małe kroki. Są zagadnienia, dla których algorytmy niejawne są bardzo efektywne i inne, dla których algorytmy jawne są bardzo efektywne. Niemniej jednak wiele różnych typów elementów skończonych i rozdrobnienia lokalnej siatki często skutkują tym, że żadna z tych klas nie jest wydajna sama z siebie. Naukowcy wyszli naprzeciw tym trudnościom i rozwinęli metody, w których usiłuje się jednocześnie osiągnąć atrybuty obu klas algorytmów. Belytschko, Mullen, Smolinski i inni przedstawili sformułowanie, w którym elementy skończone modelowanego obszaru są podzielone na podobszary, całkowane z różnymi krokami czasowymi i/lub różnymi schematami. Procedury te nazywa się z ang. mixed time partinioned procedures lub subcycling procedures i łączą w sobie atrybuty obu schematów całkowania po czasie, jawnego i niejawnego. Ważnym czynnikiem stosowania procedur podcykli jest wyznaczenie i przestrzeganie warunków stabilności metody. Określenie maksymalnego, dopuszczalnego kroku czasowego, a tym samym warunkiem wystarczającym stabilności numerycznej rozwiązania jest ograniczenie wartości własnych macierzy występujących w rozważanych równaniach. Rozpatruje się tylko homogeniczne postacie tych równań, ponieważ stabilność metody całkowania nie zależy od wyrażenia niejednorodnego, następnie szuka się dla danego obszaru siatki maksymalnej wartości własnej macierzy i na jej podstawie określa krytyczny krok czasowy, jaki można zastosować do obliczeń.

Projekt promotorski dotyczy numerycznego modelowania zjawisk cieplnych oraz narastania fazy stałej i powstawania struktury w odlewie przy wykorzystaniu metody elementów skończonych w nowej wersji, w której stosowane będą różnej wielkości kroki czasowe dla poszczególnych podobszarów zadania. Jest to podejście nowe i dlatego będzie ono wymagało przeprowadzenia wielu rozważań związanych z analizą stabilności rozwiązania, opracowania nowych algorytmów, znalezienia możliwych (fizykalnie uzasadnionych) kombinacji różnych schematów całkowania po czasie i odpowiadających im wielkości kroków czasowych oraz przeprowadzenia wielu symulacji testujących. Jednym z efektów projektu promotorskiego będzie wykonanie autorskiego modułu obliczeniowego, dającego możliwości dodatkowego skrócenia czasu obliczeń komputerowych w trakcie przeprowadzania symulacji numerycznych krzepnięcia.

Przewiń do góry strony
HARMONOGRAM WYKONANIA PROJEKTU
31-01-2005

Przeprowadzenie analizy stabilności numerycznej całkowania równań krzepnięcia metodą mieszanego podziału czasu dla zadań 1D z podziałem siatki elementów skończonych, wyprowadzenie warunków stabilności numerycznej obliczeń z wykorzystaniem wartości własnych macierzy, określenie największego dopuszczalnego kroku czasowego oraz jego największej dopuszczalnej wielokrotności, implementacja zagadnienia 1D do modelowania krzepnięcia, przeprowadzenie wstępnych symulacji komputerowych

31-07-2005

Przeprowadzenie analizy stabilności numerycznej całkowania równań krzepnięcia metodą mieszanego podziału czasu dla zadań 2D z podziałem siatki elementów skończonych, wyprowadzenie warunków stabilności numerycznej obliczeń z wykorzystaniem wartości własnych macierzy, określenie największego dopuszczalnego kroku czasowego oraz jego największej dopuszczalnej wielokrotności, implementacja zagadnienia 2D do modelowania krzepnięcia, przeprowadzenie symulacji komputerowych

30-09-2005

Przeprowadzenie analizy efektywności zastosowania całkowania metodą mieszanego podziału czasu w modelowaniu numerycznym krzepnięcia, porównanie czasu obliczeń z zastosowaniem nowej metody do czasu obliczeń z zastosowaniem tradycyjnych metod wykorzystujących stały krok czasowy, testowe symulacje komputerowe

Przewiń do góry strony

Valid HTML 4.01 Transitional

Copyright © 2007 by Elżbieta Gawrońska | Kontakt